Tipos de Ábaco
Conhecidos desde a Antiguidade, pelos egípcios, chineses e
etruscos, consistiam em estacas fixas verticalmente no solo ou numa base de
madeira onde se podiam enfiar folhas, conchas, pedras, pedaços de osso ou de
metal que representavam números cujo valor dependia da estaca onde eram
colocados. O ábaco é um recurso manipulativo que constitui um material muito
útil para o aprendizado do cálculo.
O fato de que a posição das contas coincida com a da escrita
numérica faz o ábaco ser um material de fácil compreensão, especialmente
indicado para trabalhar o valor posicional dos algarismos.
A regra fundamental para se trabalhar com o ábaco é que
"nunca se pode colocar 10 contas em uma mesma vareta".
Ábaco mesopotâmico
O primeiro ábaco foi quase de certeza construído numa pedra
lisa coberta por areia ou pó. Palavras e letras eram desenhadas na areia;
números eram eventualmente adicionados e bolas de pedra eram utilizadas para
ajuda nos cálculos. Os babilônios utilizavam este
ábaco em 2700–2300 a.C.. A origem do ábaco de contar com bastões é
obscuro, mas a Índia, a Mesopotâmia ou o Egito são vistos como prováveis pontos de origem.
A China desempenhou um papel
importante no desenvolvimento do ábaco.
Ábaco babilônio
Os babilônios podem ter utilizado o ábaco para operações de
adição e subtração. No entanto, este dispositivo primitivo provou ser difícil
para a utilização em cálculos mais complexos. Algumas pessoas conhecem
um caráter do alfabeto cuneiforme babilônio que pode ter sido derivado de uma
representação do ábaco. Por isso esse ábaco é muito importante.
Ábaco egípcio
O uso do ábaco no antigo egito é mencionado pelo
historiador grego Crabertotous,
que escreve sobre a maneira do uso de discos (ábacos) pelos egípcios, que era
oposta na direção quando comparada com o método grego. Arqueologistas
encontraram discos antigos de vários tamanhos que se pensam terem sido usados
como material de cálculo. No entanto, pinturas de parede não foram descobertas,
espalhando algumas dúvidas sobre a intenção de uso deste instrumento.
Ábaco grego
Uma tábua encontrada na ilha grega de Salamina em 1846 data de 300 a.C., fazendo deste o mais velho ábaco
descoberto até agora. É um ábaco de mármore de 149 cm de comprimento, 75 cm de largura e de 4,5 cm de espessura, no qual
existem 5 grupos de marcações. No centro da tábua existe um conjunto de 5
linhas paralelas igualmente divididas por uma linha vertical, tampada por um
semicírculo na intersecção da linha horizontal mais ao canto e a linha vertical
única. Debaixo destas linhas, existe um espaço largo com uma rachadura
horizontal a dividi-los. Abaixo desta rachadura, existe outro grupo de onze
linhas paralelas, divididas em duas secções por uma linha perpendicular a elas,
mas com o semicírculo no topo da intersecção; a terceira, sexta e nona linhas
estão marcadas com uma cruz onde se intersectam com a linha vertical.
Ábaco romano
O método normal de cálculo na Roma antiga, assim como na
Grécia antiga, era mover bolas de contagem numa tábua própria para o efeito. As
bolas de contagem originais denominavam-se calculi. Mais tarde, e na
Europa medieval, os jetons começaram a ser manufaturados.
Linhas marcadas indicavam unidades, meias dezenas, dezenas, etc., como na numeração
romana. O sistema de contagem contrária continuou até à
queda de Roma, assim como na Idade Média e até ao século XIX, embora já com uma
utilização mais limitada. Em adição às mais utilizadas bolas de contagem
frouxas, vários espécimes de um ábaco romano foram encontrados, mostrados aqui
em reconstrução. Tem oito longos sulcos contendo até 5 bolas em cada e 8 sulcos
menores tendo tanto uma como nenhuma bola.
Nos sulcos menores, o sulco marcado I marca unidades, o X
dezenas e assim sucessivamente até aos milhões. As bolas nos sulcos menores
marcam os cincos - cinco unidades, cinco dezenas, etc. - essencialmente baseado
na numeração
romana. As duas últimas colunas de sulcos serviam para marcar as
subdivisões da unidade monetária. Temos de ter em conta que a unidade monetária
se subdividia em 12 partes, o que implica que o sulco longo marcado com o sinal
0(representando os múltiplos da onça ou duodécimos da unidade monetária)
comporte um máximo de 5 botões, valendo cada uma 1 onça, e que o botão
superior valha 6 onças.
Os sulcos menores à direita são facções da onça romana sendo respectivamente,
de cima para baixo, ½ onça, ¼ onça e ⅓ onça.
Ábaco indiano
Fontes do século I, como a Abhidharmakosa, descrevem a sabedoria e o uso do ábaco na Índia. Por volta do século V, escrivães indianos estavam já à
procura de gravar os resultados do Ábaco. Textos hindus usavam o termo shunya (zero) para indicar a coluna vazia no
ábaco.
Ábaco chinês
A menção mais antiga a um suanpan (ábaco
chinês) é encontrada num livro do século I da Dinastia
Han Oriental, o Notas Suplementares na Arte das
Figuras escrito por Xu Yue. No entanto, o aspecto êxito
deste suanpané desconhecido.
Habitualmente, um suanpan tem
cerca de 20 cm
de altura e vem em variadas larguras, dependendo do fabricante. Tem
habitualmente mais de sete hastes. Existem duas bolas em cada haste na parte de
cima e cinco na parte de baixo, para números decimais e hexadecimais.
Ábacos mais modernos têm uma bola na parte de cima e quatro na parte de baixo.
As bolas são habitualmente redondas e feitas em madeira. As bolas são contadas
por serem movidas para cima ou para baixo. Se as mover para o alto, conta-lhes
o valor; se não, não lhes conta o valor. O suanpan pode
voltar à posição inicial instantaneamente por um pequeno agitar ao longo do
eixo horizontal para afastar todas as peças do centro.
Os suanpans podem
ser utilizados para outras funções que não contar. Ao contrário do simples
ábaco utilizado nas escolas, muitas técnicas eficientes para o suanpan foram feitas para calcular operações que
utilizam a multiplicação,
a divisão, a adição, a subtração, a raiz quadrada e
a raiz cúbica a
uma alta velocidade.
No famoso quadro Cenas à Beira-mar no
Festival de Qingming pintado por Zhang
Zeduan (1085-1145) durante a Dinastia Song (960-1297), um suanpan é
claramente visto ao lado de um livro de encargos e de prescrições do doutor na
secretária de um apotecário.
A similaridade do ábaco romano com o suanpan sugere que um pode ter inspirado o outro,
pois existem evidências de relações comerciais entre o Império Romano e a
China. No entanto, nenhuma ligação direta é passível de ser demonstrada, e a
similaridade dos ábacos pode bem ser coincidência, ambos derivando da contagem
de cinco dedos por mão. Onde o modelo romano tem 4 mais 1 bolas por espaço
decimal, o suanpan padrão tem 5 mais 2,
podendo ser utilizado com números hexadecimais, ao contrário do romano. Em vez
de funcionar em cordas como os modelos chinês e japonês, o ábaco romano
funciona em sulcos, provavelmente fazendo os cálculos mais difíceis.
Outra fonte provável do suanpan são
as pirâmides numéricas chinesas, que
operavam com o sistema decimal, mas não incluíam o conceito de zero. O zero foi
provavelmente introduzido aos chineses na Dinastia Tang (618-907), quando as viagens no Oceano Índico e
no Médio Oriente teriam
dado contato direto com a Índia e o Islã, permitindo-lhes saber o conceito de
zero e do ponto decimal de
mercantes e matemáticos indianos e islâmicos.
O suanpan migrou
da China para a Coréia em cerca do ano 1400. Os coreanos chamam-lhe jupan (주판), supan (수판) or jusan (주산).
Ábaco
japonês
Um soroban (算盤, そろばん, lit. tábua de contar) é uma versão
modificada pelos japoneses do suanpan. É planeado dosuanpan,
importado para o Japão antes do século. No
entanto, a idade de transmissão exata e o meio são incertos porque não existem registros
específicos. Como o suanpan, o soroban ainda
hoje é utilizado no Japão, apesar da proliferação das calculadoras de bolso,
mais baratas.
A Coréia tem também o seu próprio, o supan (수판), que é basicamente
o soroban antes de tomar a sua
atual forma nos anos. O soroban moderno
também tem este nome.
Ábacos dos nativos americanos
Algumas fontes mencionam o uso de um ábaco chamado nepohualtzintzin na antiga cultura asteca. Este ábaco
mesoamericano utiliza um sistema de base 20 com 5 dígitos.
O quipu dos
Incas era um sistema de cordas atadas usado para gravar dados numéricos, como
varas de registro avançadas - mas não eram usadas para fazer cálculos. Os
cálculos eram feitos utilizando uma yupana (quechua para tábua de contar), que estava ainda em uso depois da conquista do Peru. O
princípio de trabalho de uma yupana é
desconhecido, mas, em 2001, uma explicação para
a base matemática deste instrumento foi proposta. Por comparação à forma de
várias yupanas, os investigadores descobriram que os
cálculos eram baseados na sequência Fibonnaci, utilizando 1, 1, 2, 3,5 e múltiplos de
10, 20 e 40 para os diferentes campos do instrumento. Utilizar a sequência
Fibonnaci manteria o número de bolas num campo no mínimo.
Ábaco russo
O ábaco russo, o schoty (счёты),
normalmente tem apenas um lado comprido, com 10 bolas em cada fio (exceto um
que tem 4 bolas, para frações de quartos de rublo). Este costuma estar do lado
do utilizador. (Modelos mais velhos têm outra corda com 4 bolas, para quartos
de kopeks, que eram emitidos até 1916. O ábaco russo é
habitualmente utilizado na vertical, com os fios da esquerda para a direita ao
modo do livro. As bolas são normalmente curvadas para se moverem para o outro
lado no centro, em ordem para manter as bolas em cada um dos lados. É
clarificado quando as bolas devem mover para a direita. Durante a manipulação,
as bolas são movidas para a direita. Para mais fácil visualização, as duas
bolas do meio de cada corda (a 5ª e a 6ª; no caso da corda exceção, a 3ª e a
4ª) costumam estar com cores diferentes das outras oito. Como tal, a bola mais
à esquerda da corda dos milhares (e dos milhões, se existir) costuma também estar
pintada de maneira diferente.
O ábaco russo estava em uso em todas as lojas e mercados de
toda a antiga União Soviética,
e o uso do ábaco era ensinado em todas as escolas até aos anos 90. Hoje é visto como algo arcaico e
foi substituído pela calculadora. Na escola, o uso da calculadora é ensinado
desde os anos 90.
Ábaco escolar
Em todo o mundo, os ábacos têm sido utilizados na educação
infantil e na educação básica como
uma ajuda ao ensino do sistema
numérico e da aritmética. Nos países ocidentais, uma
tábua com bolas similar ao ábaco russo, mas com fios mais direitos e um plano
vertical tem sido comum (ver imagem).
O tipo de ábaco aqui mostrado é vulgarmente utilizado para
representar números sem o uso do lugar da ordem dos números. Cada bola e cada
fio têm exatamente o mesmo valor e, utilizado desta maneira, pode ser utilizado
para representar números acima de 100.
A vantagem educacional mais significante em utilizar um
ábaco, ao invés de bolas ou outro material de contagem, quando se pratica a
contagem ou a adição simples, é que isso dá aos estudantes uma ideia dos grupos
de 10 que são a base do nosso sistema numérico. Mesmo que os adultos tomem esta
base de 10 como garantida, é na realidade difícil de aprender. Muitas crianças
de 6 anos conseguem contar até 100 de seguida com somente uma pequena
consciência dos padrões envolvidos.
